Question

16．已知|$\overrightarrow a$|=3，|$\overrightarrow b$|=2，$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$夾角為60⁰，如果（3$\overrightarrow a$+5$\overrightarrow b$）⊥（m$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$），則m值為$\frac{29}{42}$．

Answer 1

分析 由（3$\overrightarrow a$+5$\overrightarrow b$）⊥（m$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$），我們易得到（3$\overrightarrow{a}$+5$\overrightarrow$）•（m$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=0，結合|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow$|=2，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，我們易得到一個關于m的方程，解方程即可得到答案．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow$|=2，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，
∴|$\overrightarrow{a}$|²=9，|$\overrightarrow$|²=4，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=3，
則（3$\overrightarrow{a}$+5$\overrightarrow$）•（m$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）
=3m|$\overrightarrow{a}$|²-5|$\overrightarrow$|²+（5m-3）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=27m-20+3（5m-3）
=42m-29，
又∵（3$\overrightarrow{a}$+5$\overrightarrow$）⊥（m$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），
∴42m-29=0，
∴m=$\frac{29}{42}$．
故答案為：$\frac{29}{42}$．

點評 本題考查的知識點是平面向量數(shù)量積坐標表示的應用，其中根據(jù)（3$\overrightarrow a$+5$\overrightarrow b$）⊥（m$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$），得到（3$\overrightarrow{a}$+5$\overrightarrow$）•（m$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=0，進而得到關于m的方程，是解答本類問題的關鍵．