Question

（Ⅰ）設(shè)T=

1+sin2θ

．
（1）已知sin（π-θ）=

3

5

，θ為鈍角，求T的值；
（2）已知cos（

π

2

-θ）=m，θ為鈍角，求T的值；
（Ⅱ）已知sinα=

2

5

，α是第二象限角，且tan（α+β）=3，求tanβ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正切函數(shù),三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）（1）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sinθ=

3

5

，cosθ=-

4

5

，可得 T=

1+2sinθcosθ

的值．
（2）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sinθ和cosθ的值，可得T=

1+sin2θ

=|sinθ+cosθ|．再分θ∈（

π

2

，

3π

4

），和θ∈（

3π

4

，π）兩種情況，分別求得T的值．
（Ⅱ）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosα 的值，可得tanα=

sinα

cosα

的值，再根據(jù) tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanα•tanβ

=3，求得tanβ 的值．

解答： 解：（Ⅰ）（1）∵sin（π-θ）=

3

5

，θ為鈍角，可得sinθ=

3

5

，cosθ=-

4

5

，
∴T=

1+sin2θ

=

1+2sinθcosθ

=

1+2× 3 5 ×(- 4 5 )

=

1

5

．
（2）已知cos（

π

2

-θ）=sinθ=m，θ為鈍角，∴cosθ=-

1-sin2θ

=-

1-m2

．
∴T=

1+sin2θ

=

(sinθ+cosθ)2

=|sinθ+cosθ|=|m-

1-m2

|．
若θ∈（

π

2

，

3π

4

），sinθ+cosθ＞0，T=sinθ+cosθ=m-

1-m2

；
若θ∈（

3π

4

，π），sinθ+cosθ＜0，T=-（sinθ+cosθ ）=

1-m2

-m．
（Ⅱ）已知sinα=

2

5

，α是第二象限角，∴cosα=-

1-sin2α

=-

5

5

，∴tanα=

sinα

cosα

=-2，
再根據(jù) tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanα•tanβ

=

-2+tanβ

1+2tanβ

=3，求得tanβ=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和的正切公式的應(yīng)用，以及三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào)，屬于基礎(chǔ)題．