Question

若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足2S_n=3a_n-1（n∈N^*），等差數(shù)列{b_n}滿足b₁=3a₁，b₃=S₂+3．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=

bn

3an

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由數(shù)列遞推式求出a₁，在數(shù)列遞推式中取n=n-1得另一遞推式，作差后得到數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式可求，再由b₁=3a₁，b₃=S₂+3求出數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)和公差，則{b_n}的通項(xiàng)公式可求；
（2）把數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式代入c_n=

bn

3an

，直接由錯(cuò)位相減法求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，2S₁=3a₁-1，∴a₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n=S_n-2S_n-1=（3a_n-1）-（3a_n-1-1），即a_n=3a_n-1，
∵a₁=1≠0，
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，∴an=3n-1，
設(shè){b_n}的公差為d，b₁=3a₁=3，b₃=S₂+3=7=2d+3，d=2．
∴b_n=3+（n-1）×2=2n+1；
（2）∵c_n=

bn

3an

=

2n+1

3n

，
∴Tn=

3

31

+

5

32

+

7

33

+…+

2n+1

3n

  ①

1

3

Tn=

3

32

+

5

33

+

7

34

+…+

2n+1

3n+1

  ②
由①-②得，

2

3

Tn=1+

2

32

+

2

33

+

2

34

+…+

2

3n

-

2n+1

3n+1

=1+2×

1 9 (1-( 1 3 )n-1)

1- 1 3

-

2n+1

3n+1

．
∴Tn=2-

n+2

3n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．