Question

某校高三年級(jí)在高校自主招生期間，把學(xué)生的平時(shí)成績(jī)按“百分制”折算并排序，選出前300名學(xué)生，并對(duì)這300名學(xué)生按成績(jī)分組，第一組[75，80），第二組[80，85），第三組[85，90），第四組[90，95），第五組[95，100]，如圖為頻率分布直方圖的一部分，其中第五組、第一組、第四組、第二組、第三組的人數(shù)依次成等差數(shù)列．
（Ⅰ）請(qǐng)?jiān)趫D中補(bǔ)全頻率分布直方圖；
（Ⅱ）若B大學(xué)決定在成績(jī)高的第4，5組中用
分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生，并且分成2組，每組3人
進(jìn)行面試，求95分（包括95分）以上的同學(xué)被分在同一個(gè)小組的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：頻率分布直方圖,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由頻率分布直方圖求出第五組的數(shù)據(jù)，再根據(jù)題意求出第一組、第四組、第二組、第三組的數(shù)據(jù)來，由此繪制頻率分布直方圖；
（Ⅱ）根據(jù)分層抽樣求出從第四、五組中抽取人數(shù)，組成樣本，用列舉法列出這六人分成兩組的基本事件數(shù)，求出第五組中的2人被分在一組的概率即可．
（另解：用排列與組合的方法求出兩人被分在一組的概率也可）．

解答：
解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖知，
第五組為：0.02×5×300=30人，
第五組、第一組、第四組、第二組、第三組的人數(shù)以次是一個(gè)以30為首項(xiàng)，總和為300的等差數(shù)列，
∴第五組、第一組、第四組、第二組、第三組的人數(shù)以次是30人，45人，60人，75人，90人．
∴繪制的頻率分布直方圖如右圖所示；…（6分）
（Ⅱ）第四組中抽取人數(shù)：

6

90

×60=4人，
第五組中抽取人數(shù)：

6

90

×30=2人，
∴兩組共6人；
設(shè)第四組抽取的四人為A₁，A₂，A₃，A₄，第五組抽取的2人為B₁，B₂，
這六人分成兩組有兩種情況，
情況一：B₁，B₂在同一小組：（A₁，A₂，A₃），（A₄，B₁，B₂）；（A₁，A₂，A₄），（A₃，B₁，B₂）；
（A₁，A₃，A₄），（A₂，B₁，B₂）；（A₂，A₃，A₄），（A₁，B₁，B₂），共有4種可能結(jié)果；
情況二：B₁，B₂不在同一小組：（B₁，A₁，A₂），（B₂，A₃，A₄）；（B₁，A₁，A₃），（B₂，A₂，A₄）；
（B₁，A₁，A₄），（B₂，A₂，A₃）；（B₁，A₂，A₃），（B₂，A₁，A₄）；
（B₁，A₂，A₄），（B₂，A₁，A₃）；（B₁，A₃，A₄），（B₂，A₁，A₂），共有6種可能結(jié)果；
兩種情況總共10種可能結(jié)果，
∴兩人被分在一組的概率為

4

10

=

2

5

．…（12分）
（另解：兩人被分在一組的概率為P=

C 1 4

C 3 6 C 3 3 A 2 2

=

2

5

）．（此法亦可相應(yīng)給分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了等差數(shù)列的應(yīng)用問題，古典概型的概率的計(jì)算問題，是綜合題．