Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=|a_n-4|+2（n∈N^*）．
（1）若a₁=1，求S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n；
（2）試探求a₁的值，使得數(shù)列{a_n}（n∈N^*）成等差數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a₁=1，an+1=|an-4|+2(n∈N*)，得a₂=5，a₃=3，a₄=3，…，a_n=3，由此能求出S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n．
（2）（i）當(dāng)a_n＜4時(shí)，a_n+1+a_n=6，由已知推導(dǎo)出an=3(n∈N*)，此時(shí)a₁=3；（ii）當(dāng)a_n≥4時(shí)，d=-2，a_n≥4對(duì)一切n∈N^*都成立，不符合題意．所以要使數(shù)列{an}(n∈N*)成等差數(shù)列，則a₁=3．

解答： 解：（1）a₁=1，an+1=|an-4|+2(n∈N*)，
a₂=4-a₁+2=5，
a₃=|a₂-4|+2=3，
a₄=|a₃-4|+2=3，…，a_n=3，
∴Sn=a1+a2+a3+…+an=

1，n=1 6，n=2 6+3(n-2)，n≥3

=

1，n=1 3n，n≥2

．
（2）（i）當(dāng)a_n＜4時(shí)，a_n+1=-a_n+6，
即a_n+1+a_n=6…①
當(dāng)n=1時(shí)，a₁+a₂=6；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n+a_n-1=6…②
①-②得，n≥2時(shí)，a_n+1-a_n-1=0，即a_n+1=a_n-1
又{a_n}為等差數(shù)列，∴an=3(n∈N*)，此時(shí)a₁=3，
（ii）當(dāng)a_n≥4時(shí)，a_n+1=a_n-2，即a_n+1-a_n=-2，即d=-2
若d=-2時(shí)，則a_n+1=a_n-2…③
將③代入a_n+1=|a_n-4|+2得a_n-4=|a_n-4|，∴a_n≥4對(duì)一切n∈N^*都成立，
另一方面，a_n=a₁-2（n-1），
a_n≥4當(dāng)且僅當(dāng)n≤

a1

2

-1時(shí)成立，矛盾，
∴d=-2不符合題意，舍去
綜合①②知，要使數(shù)列{an}(n∈N*)成等差數(shù)列，則a₁=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查使數(shù)列成等差數(shù)列的首項(xiàng)的取值的探究，是中檔題，解題時(shí)要注意分類討論思想的合理運(yùn)用．