Question

如圖，在幾何體ABC-A₁B₁C₁中，點A₁，B₁，C₁在平面ABC內的正投影分別為A，B，C，且AB⊥BC，E為AB₁中點，AB=AA₁=BB₁=2CC₁．
（Ⅰ）求證；CE∥平面A₁B₁C₁，
（Ⅱ）求證：平面AB₁C₁⊥平面A₁BC．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）取A₁B₁中點F，連接EF，F(xiàn)C，證明CE∥平面A₁B₁C₁，只需證明CE∥C₁F；
（Ⅱ）證明BC⊥AB₁，AB₁⊥A₁B，可得AB₁⊥平面A₁BC，即可證明平面AB₁C₁⊥平面A₁BC．

解答： 證明：（Ⅰ）∵點A₁，B₁，C₁在平面ABC內的正投影分別為A，B，C，
∴AA₁∥BB₁∥CC₁，
取A₁B₁中點F，連接EF，F(xiàn)C，則EF∥

1

2

A₁A，EF=

1

2

A₁A
∵AA₁=4，CC₁=2，∴CC₁∥

1

2

A₁A，CC₁=

1

2

A₁A，
∴CC₁∥EF，CC₁=EF，
∴四邊形EFC₁C為平行四邊形，
∴CE∥C₁F，
∵CE?平面A₁B₁C₁，C₁F?平面A₁B₁C₁，
∴CE∥平面A₁B₁C₁；
（Ⅱ）∵BB₁⊥平面ABC，∴BB₁⊥BC，
∵AB⊥BC，
∵AB∩BB₁=B，
∴BC⊥平面AA₁BB₁，
∵AB₁?平面AA₁BB₁，
∴BC⊥AB₁，
∵AA₁=BB₁=AB，AA₁∥BB₁，
∴四邊形AA₁BB₁為正方形，
∴AB₁⊥A₁B，
∵A₁B∩BC=B，
∴AB₁⊥平面A₁BC，
∴平面AB₁C₁⊥平面A₁BC．

點評：本題考查線面平行，面面垂直，考查學生分析解決問題的能力，掌握線面平行、面面垂直的判定定理是關鍵．