Question

已知橢圓+=1（a＞b＞0），點在橢圓上．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)A橢圓的右頂點，O坐標(biāo)原點，若Q橢圓上且滿足|AQ|=|AO|，求直線OQ的斜率的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接把點P的坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合a²=b²+c²即可得到橢圓的離心率；
（2）由題意可知直線OQ的斜率存在且不等于0，設(shè)出OQ所在直線方程，設(shè)出Q點的坐標(biāo)，和橢圓方程聯(lián)立后求出Q點的橫坐標(biāo)，再由|AQ|=|AO|求出Q點橫坐標(biāo)的另一表達式，由兩橫坐標(biāo)相等，同時結(jié)合（1）中得到的a和b的關(guān)系即可得到關(guān)于k的方程，解方程可求k的值．
解答：解：（1）因為點P（）在橢圓上，所以，
整理得：5a²=8b²，則5a²=8（a²-c²），
所以，則e=；
（2）設(shè)直線OQ的斜率為k，則其方程為y=kx
設(shè)點Q的坐標(biāo)為（x，y），由條件得，
消元并整理可得①
因為|AQ|=|AO|，A（a，0），y=kx，
所以，
所以，
因為x≠0，
所以．
代入①，整理得，
因為，
所以，
整理得，5k⁴-22k²-15=0
所以k²=5，則．
點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．屬難題．