已知過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)．求證：
（1）x1x2為定值；
（2）
1
|FA|
+
1
|FB|
為定值．
考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）設(shè)出直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x1x2的值，最后驗(yàn)證斜率不存在時(shí)的情況．
（2）由拋物線的定義分別表示出|FA|，|FB|，代入
1
|FA|
+
1
|FB|
整理得到定值，最后驗(yàn)證斜率不存在時(shí)的情況．
解答： （1）拋物線的焦點(diǎn)為F（
p
2
，0），設(shè)直線AB的方程為y=k（x-
p
2
）（k≠0），
由
y=k(x-
p
2
)
y2=2px
，消去y，得k2x2-p（k2+2）x+
k2p2
4
=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2=
p2
4
（定值）．
當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，x1=x2=
p
2
，x1x2=
p2
4
，也成立．
（2）由拋物線的定義，知|FA|=x1+
p
2
，|FB|=x2+
p
2
．
1
|FA|
+
1
|FB|
=
1
x1+
p
2
+
1
x2+
p
2
=
x1+x2+p
x1•
p
2
+x2•
p
2
+x1x2+
p2
4
=
2
p
（定值）．
當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，|FA|=|FB|=p，上式仍成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)，直線與拋物線的關(guān)系．在設(shè)直線方程時(shí)，一定不要忘了斜率不存在時(shí)的情況．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若tanθ=
1
3
，則2cos2θ-sin（2θ-π）的值為（　　）
A、
12
5
B、
8
5
C、-
8
5
D、-
12
5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合M={2，3，5}，N={4，5}，則∁U（M∪N）的元素個(gè)數(shù)有（　�。�
A、0個(gè)B、1個(gè)C、2D、3個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ax-a-x（a＞0且a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域，并判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若0＜a＜1，解不等式f（x2+6x）+f（4-x）＜0；
（3）若f（1）=
3
2
，g（x）=a2x+a-2x-2mf（x）且g（x）在[1，+∞）上的最小值為-2，求m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知x1，x2是函數(shù)f（x）=4cosωxsin（ωx+
π
6
）+1兩相鄰零點(diǎn)，且滿足|x1-x2|=π，其中ω＞0．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[-
π
6
，
π
4
]上的最大值與最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（sinx，
3
2
），
b
=（cosx，-1）．
（1）當(dāng)
a
∥
b
時(shí)，求2cos2x-sin2x的值；
（2）求f（x）=（
a
+
b
）•
b
在[-
π
2
，0]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

為了研究“教學(xué)方式”對(duì)教學(xué)質(zhì)量的影響，某高中數(shù)學(xué)老師分別用兩種不同的教學(xué)方式對(duì)入學(xué)數(shù)學(xué)平均分?jǐn)?shù)和優(yōu)秀率都相同的甲、乙兩個(gè)高一新班進(jìn)行教學(xué)（勤奮程度和自覺性都一樣）．如圖所示莖葉圖為甲、乙兩班（每班均為20人）學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績．
（1）現(xiàn)從甲班數(shù)學(xué)成績不低于80分的同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)，求成績?yōu)?7分的同學(xué)至少有一名被抽中的概率；
（2）學(xué)校規(guī)定：成績不低于75分的為優(yōu)秀．請(qǐng)?zhí)顚懴旅娴?×2表，并判斷有多大把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”．
甲班 乙班 合計(jì)
優(yōu)秀
不優(yōu)秀
合計(jì)
下面臨界值表僅供參考：
P（x2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.79 10.828
（參考公式：x2=
n(n11n22-n12n21)2
n1+n2+n+1n+2
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，
m
=（2cosA，
3
sinA），
n
=（cosA，-2cosA），
m
•
n
=-1．
（1）若a=2
3
，c=2，求S△ABC．
（2）求
b-2c
2cos(
π
3
+C)
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

條件p：-2＜x＜4，條件q：（x+2）（x+a）＜0；若p是q的充分而不必要條件，則a的取值范圍是
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案