Question

在△ABC中，

m

=（2cosA，

3

sinA），

n

=（cosA，-2cosA），

m

•

n

=-1．
（1）若a=2

3

，c=2，求S_△ABC．
（2）求

b-2c

2cos( π 3 +C)

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的余弦函數(shù),平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：解三角形

分析：（1）根據(jù)數(shù)量積公式求，求出角A，利用余弦定理求出b，即可求S_△ABC．
（2）直接帶入即可求

b-2c

2cos( π 3 +C)

的值．

解答： 解：（1）∵

m

=（2cosA，

3

sinA），

n

=（cosA，-2cosA），

m

•

n

=-1．
∴

m

•

n

=2cos²A-2

3

sinAcosA=1+cos2A-

3

sin2A=1+2cos（2A+

π

3

）=-1，
即2cos（2A+

π

3

）=-2，cos（2A+

π

3

）=-1，
則2A+

π

3

=π，解得A=

π

3

，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，
即12=b²+4-2b，即b²-2b-8=0，
解得b=4或b=-2（舍），
則S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×4×2×

3

2

=2

3

．
（2）由正弦定理得

a

sinA

=

c

sinC

，則sinC=

csinA

a

=

2× 3 2

2 3

=

1

2

，
∵c＜a，∴C=

π

6

，
則

b-2c

2cos( π 3 +C)

=

4-2×2

2cos( π 3 +C)

=0

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面積的計(jì)算，利用數(shù)量積以及輔助角公式是解決本題的關(guān)鍵，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)．