【題目】若函數(shù)滿足:在定義域內(nèi)存在實數(shù),使得成立,則稱函數(shù)為“的飽和函數(shù)”.給出下列四個函數(shù):①;②; ③;④.其中是“的飽和函數(shù)”的所有函數(shù)的序號是______________.

【答案】②④

【解析】f(x)=,D=(﹣∞,0)(0,+∞),

若f(x)=是“1的飽和函數(shù)”,

則存在非零實數(shù)x0,使得=,

即x02+x0+1=0,

因為此方程無實數(shù)解,

所以函數(shù)f(x)=不是“1的飽和函數(shù)”.

②f(x)=2x,D=R,則存在實數(shù)x0,使得2x0+1=2x0+2,解得x0=1,

因為此方程有實數(shù)解,

所以函數(shù)f(x)=2x是“1的飽和函數(shù)”.

③f(x)=lg(x2+2),若存在x,使f(x+1)=f(x)+f(1)

lg[(x+1)2+2]=lg(x2+2)+lg3

即2x2﹣2x+3=0,

∵△=4﹣24=﹣20<0,故方程無解.

即f(x)=lg(x2+2)不是“1的飽和函數(shù)”.

f(x)=cosπx,存在x=,使得f(x+1)=f(x)+f(1),

即f(x)=cosπx是“1的飽和函數(shù)”.

故答案為:②④.

練習(xí)冊系列答案
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