學(xué)校文娛隊(duì)的每位隊(duì)員唱歌、跳舞至少會(huì)一項(xiàng),已知會(huì)唱歌的有3人,會(huì)跳舞的有5人,現(xiàn)從中選2人.設(shè)X為選出的人中既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人數(shù),且X>0的概率P(X>0)=
35

(1)求文娛隊(duì)的人數(shù);
(2)從文娛隊(duì)中選出3人排練一個(gè)由1人唱歌2人跳舞的節(jié)目,有多少種挑選演員的方法?
分析:(1)設(shè)文娛隊(duì)共有n人,易得5≤n≤8,n∈N*,進(jìn)而可得其中只會(huì)唱歌,只會(huì)跳舞,既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人數(shù),根據(jù)題意P(X>0)=
3
5
,易得n<8,分別討論n=7、5≤n≤6兩種情況,可得n的值;
(2)由(1)的結(jié)論,文娛隊(duì)中只會(huì)唱歌的有1人,記為a,只會(huì)跳舞的有3人,記為b、c、d,既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的有2人,記為e、f;分①若表演唱歌的一人是a,②表演唱歌的一人從e、f中選,兩種求解討論,分別計(jì)算該情況下的選法數(shù)目,由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.
解答:解:(1)設(shè)文娛隊(duì)共有n人(5≤n≤8,n∈N*),則其中只會(huì)唱歌的有(n-5)人,只會(huì)跳舞的有(n-3)人,既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的有(8-n)人.
P(X>0)=
3
5
≠0
,∴n<8.
若n=7,則P(X>0)=P(X=1)=
C
1
1
C
1
6
C
2
7
=
6
21
=
2
7
3
5
,
∴5≤n≤6.
此時(shí),P(X>0)=P(X=1)+P(X=2)=
C
1
8-n
C
1
2n-8
C
2
n
+
C
2
8-n
C
2
n
=
3
5

即  
2(8-n)(2n-8)+(8-n)(7-n)
n(n-1)
=
3
5
,整理可得3n2-28n+60=0
解方程,得n=6,或n=
10
3
(舍)
所以,文娛隊(duì)共6人.
(2)由題意知,文娛隊(duì)中只會(huì)唱歌的有1人,記為a,只會(huì)跳舞的有3人,記為b、c、d,既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的有2人,記為e、f;.
若表演唱歌的一人是a,則表演跳舞的2人從b、c、d、e、f中選,有C52種選法,
若表演唱歌的一人從e、f中選,則表演跳舞的2人從剩余會(huì)跳舞的4人中選,有C21C42種選法,
故不同的選法共有C11C52+C21C42=22種.
點(diǎn)評(píng):本題考查等可能事件的概率計(jì)算,排列、組合的應(yīng)用;解題的難點(diǎn)在于(1)中對(duì)P(X>0)=
3
5
的理解及運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

學(xué)校文娛隊(duì)的每位隊(duì)員唱歌、跳舞至少會(huì)一項(xiàng),已知會(huì)唱歌的有2人,會(huì)跳舞的有5人,現(xiàn)從中選2人.設(shè)ξ為選出的人中既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人數(shù),且P(ξ>0)=
7
10
,則文娛隊(duì)的人數(shù)為( 。
A、5B、6C、7D、8

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

學(xué)校文娛隊(duì)的每位隊(duì)員唱歌、跳舞至少會(huì)一項(xiàng),已知會(huì)唱歌的有2人,會(huì)跳舞的有5人,從中選2人,設(shè)ξ為選出的人中既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人數(shù),P(ξ>0)=
710
,則文娛隊(duì)的人數(shù)為
5
5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2007•東城區(qū)一模)學(xué)校文娛隊(duì)的每位隊(duì)員唱歌、跳舞至少會(huì)一項(xiàng),已知會(huì)唱歌的有2人,會(huì)跳舞的有5人,現(xiàn)從中選2人.設(shè)ξ為選出的人中既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人數(shù),且P(ξ>0)=
710

(1)求文娛隊(duì)的隊(duì)員人數(shù);
(2)寫出ξ的概率分布列并計(jì)算E(ξ).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

學(xué)校文娛隊(duì)的每位隊(duì)員唱歌、跳舞至少會(huì)一項(xiàng),已知會(huì)唱歌的有2人,會(huì)跳舞的有5人,現(xiàn)從中選2人.設(shè)ξ為選出的人中既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人數(shù),且P(ξ>0)=.(Ⅰ)求文娛隊(duì)的人數(shù);(Ⅱ)寫出ξ的概率分布列并計(jì)算Eξ.

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