Question

設(shè)集合P_n={1，2，…，n}，n∈N*，記f（n）為同時(shí)滿足下列條件的集合A的個數(shù)：
①A?P_n；②若x∈A，則2x?A；③若x∈A，則2x? A。
（1）求f（4）；
（2）求f（n）的解析式（用n表示）。

Answer 1

解（1）當(dāng)n=4時(shí)，P₄={1，2，3，，4}，符合條件的集合A為：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}
故f（4）=4。
（2）任取偶數(shù)x∈P_n，將x除以2，若商仍為偶數(shù)，再除以2…，經(jīng)過k次后，商必為奇數(shù)，此時(shí)記商為m，于是x=m?2^k，其中m為奇數(shù)，k∈N*
由條件可知，若m∈A，則x∈A，?k為偶數(shù)            
若m?A，則x∈A?k為奇數(shù)
于是x是否屬于A由m是否屬于A確定，
設(shè)Q_n是P_n中所有的奇數(shù)的集合
因此f（n）等于Q_n的子集個數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)（或奇數(shù)時(shí)），P_n中奇數(shù)的個數(shù)是 （或 ）
∴  。