Question

3．若對(duì)任意的x＞0，$\frac{10x}{{x}^{2}+3x+1}$≤a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2，+∞）．

Answer 1

分析 依題意，知a≥（$\frac{10x}{{x}^{2}+3x+1}$）_max，利用基本不等式可求得（$\frac{10x}{{x}^{2}+3x+1}$）_max=2，從而可得a的取值范圍．

解答 解：∵對(duì)任意x＞0，$\frac{10x}{{x}^{2}+3x+1}$≤a恒成立，
∴a≥（$\frac{10x}{{x}^{2}+3x+1}$）_max．
∵x＞0，
∴$\frac{10x}{{x}^{2}+3x+1}$=$\frac{10}{x+\frac{1}{x}+3}$≤$\frac{10}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}+3}$=2，
即（$\frac{10x}{{x}^{2}+3x+1}$）_max=2，
∴a≥2．
故答案為：[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，求得（$\frac{10x}{{x}^{2}+3x+1}$）_max=2是關(guān)鍵，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．