Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{{e^x}-{e^{-x}}}}{2}，g（x）=\frac{{{e^x}+{e^{-x}}}}{2}$（其中e=2.71718…），有下列命題：
①f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)；
②對(duì)任意x∈R，都有f（2x）=f（x）•g（x）；
③f（x）有零點(diǎn)，g（x）無零點(diǎn)．
其中正確的命題是①③．（填上所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 直接由函數(shù)奇偶性的定義判斷①正確；代值驗(yàn)證②錯(cuò)誤；先判斷函數(shù)單調(diào)性，g（x）有最小值；直接求出f（x）的零點(diǎn)，由單調(diào)性及奇偶性和最值說明g（x）無零點(diǎn)．

解答 解：f（-x）=$\frac{1}{2}$（e^-x-e^x）=-$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x）=-f（x），故f（x）為奇函數(shù)，
g（-x）=$\frac{1}{2}$（e^-x+e^x）=g（x），故g（x）為偶函數(shù)，故命題①正確，
f（2x）=$\frac{1}{2}$（e^2x-e^-2x）=$\frac{1}{2}$（e^x+e^-x）（e^x-e^-x），
f（x）•g（x）=$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x）$\frac{1}{2}$（e^-x+e^x）=$\frac{1}{4}$（e^x+e^-x）（e^x-e^-x），故命題②不正確；
函數(shù)y=e^x，y=-e^-x在實(shí)數(shù)集上均為增函數(shù)，
∴f（x）在R上單調(diào)遞增，
設(shè)x₁＜x₂＜0，
則g（x₁）-g（x₂）=$\frac{1}{2}$（e^x₁+e^-x₁）-$\frac{1}{2}$（e^x₂+e^-x₂）=$\frac{1}{2}$[（e^x₁-e^x₂）+（1-$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}}$）]，
∵x₁＜x₂＜0，
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂）．
g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x=0時(shí)，g（x）有最小值1，且函數(shù)是偶函數(shù)，
∴g（x）無零點(diǎn)，
由f（x）=0，即$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x）=0，得x=0，
∴f（x）有零點(diǎn)0，故命題③正確．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題．