Question

5．下面有三個(gè)命題：
（1）函數(shù)y=sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{2}$）是偶函數(shù)；
（2）函數(shù)f （x）=|2cos²x-1|的最小正周期是π；
（3）函數(shù)f （x）=sin（x+$\frac{π}{4}$）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上是增函數(shù)；
其中正確命題的序號(hào)是（1）．

Answer 1

分析 利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)（1）后判斷；利用倍角公式化簡(jiǎn)（2），再由y=|cos2x|的周期為y=cos2x周期的一半判斷（2）；求出函數(shù)f （x）=sin（x+$\frac{π}{4}$）的增區(qū)間判斷（3）．

解答 解：（1）函數(shù)y=sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{2}$）=cos$\frac{2}{3}x$是偶函數(shù)，命題（1）正確；
（2）函數(shù)f （x）=|2cos²x-1|=|cos2x|，最小正周期是$\frac{π}{2}$，命題（2）錯(cuò)誤；
（3）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，得$-\frac{3π}{4}+2kπ≤x≤\frac{π}{4}+2kπ，k∈Z$，
取k=0，得$-\frac{3π}{4}≤x≤\frac{π}{4}$，∴函數(shù)f （x）=sin（x+$\frac{π}{4}$）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上不是增函數(shù)．
∴正確命題的序號(hào)是（1）．
故答案為：（1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，關(guān)鍵是對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)的記憶，是基礎(chǔ)題．