Question

19．向曲線x²+y²=|x|+|y|所圍成的區(qū)域內(nèi)任投一點(diǎn)，這點(diǎn)正好落在y=1-x²與x軸所圍成區(qū)域內(nèi)的概率為$\frac{4}{3π+6}$．

Answer 1

分析 欲求所投的點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)部的概率，須結(jié)合定積分計(jì)算陰影部分平面區(qū)域的面積，再根據(jù)幾何概型概率計(jì)算公式易求解．

解答 解：曲線x²+y²=|x|+|y|所圍成的區(qū)域?yàn)榉謩e以（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），為圓心，以$\frac{\sqrt{2}}{2}$為半徑的圓，如圖所示的面積，其面積為4×π×$\frac{1}{2}$-2（$\frac{π}{2}$-1）=π+2，
y=1-x²與x軸所圍成區(qū)域S=${∫}_{-1}^{1}$（1-x²）dx=（x-$\frac{1}{3}$x³）|${\;}_{-1}^{1}$=$\frac{4}{3}$，
故這點(diǎn)正好落在y=1-x²與x軸所圍成區(qū)域內(nèi)的概率為$\frac{4}{3π+6}$，
故答案為：$\frac{4}{3π+6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何概型的計(jì)算，涉及定積分在求面積中的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確計(jì)算出陰影部分的面積．