若不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n+1
＞
a
24
對一切正整數(shù)n都成立，
（1）猜想正整數(shù)a的最大值，
（2）并用數(shù)學歸納法證明你的猜想．
（1）當n=1時，
1
1+1
+
1
1+2
+
1
3+1
＞
a
24
，即
26
24
＞
a
24
，
所以a＜26，
a是正整數(shù)，所以猜想a=25．
（2）下面利用數(shù)學歸納法證明
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n+1
＞
25
24
，
①當n=1時，已證；
②假設n=k時，不等式成立，即
1
k+1
+
1
k+2
+…+
1
3k+1
＞
25
24
，
則當n=k+1時，
有
1
(k+1)+1
+
1
(k+1)+2
+…+
1
3(k+1)+1

=
1
k+1
+
1
k+2
+…+
1
3k+1
+
1
3k+2
+
1
3k+3
+
1
3k+4
-
1
k+1

＞
25
24
+[
1
3k+2
+
1
3k+3
+
1
3k+4
-
2
3(k+1)
]
因為
1
3k+2
+
1
3k+4
=
6(k+1)
9k2+18k+8
＞
2
3(k+1)

所以
1
3k+2
+
1
3k+3
+
1
3k+4
-
2
3(k+1)
＞0，
所以當n=k+1時不等式也成立．
由①②知，對一切正整數(shù)n，都有
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n+1
＞
25
24
，
所以a的最大值等于25．…（14分）
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1
2
+
1
3
+…+
1
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n
n-1
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A．2B．3 C．4D．5

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