【題目】已知函數(shù),其中實(shí)數(shù)

(Ⅰ)判斷是否為函數(shù)的極值點(diǎn),并說(shuō)明理由;

(Ⅱ)若在區(qū)間上恒成立,求的取值范圍.

【答案】(Ⅰ)是函數(shù)的極值點(diǎn);(Ⅱ) .

【解析】試題分析: (Ⅰ)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),將代入導(dǎo)函數(shù)的分子,可得函數(shù)值為0,根據(jù)判別式結(jié)合驗(yàn)證可得, 1是函數(shù)的異號(hào)零點(diǎn),所以是函數(shù)的極值點(diǎn).(Ⅱ)分類討論參數(shù)a, 當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,所以恒成立;當(dāng)時(shí),在區(qū)間單調(diào)遞增,所以,所以不等式不能恒成立.

試題解析:(Ⅰ)由可得函數(shù)定義域?yàn)?/span>

,

,經(jīng)驗(yàn)證,

因?yàn)?/span>,所以的判別式,

由二次函數(shù)性質(zhì)可得,1是函數(shù)的異號(hào)零點(diǎn),

所以的異號(hào)零點(diǎn),

所以是函數(shù)的極值點(diǎn).

(Ⅱ)已知

因?yàn)?/span>,

又因?yàn)?/span>,所以,

所以當(dāng)時(shí),在區(qū)間,所以函數(shù)單調(diào)遞減,所以有恒成立;

當(dāng)時(shí),在區(qū)間,所以函數(shù)單調(diào)遞增,

所以,所以不等式不能恒成立;

所以時(shí),有在區(qū)間恒成立.

點(diǎn)睛:本題考查學(xué)生的是導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性以及恒成立問(wèn)題的應(yīng)用,屬于中檔題目. 導(dǎo)數(shù)與極值點(diǎn)的關(guān)系:(1)定義域D上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x0處取得極值的充要條件是f′(x0)=0,并且f′(x)在x0兩側(cè)異號(hào),若左負(fù)右正為極小值點(diǎn),若左正右負(fù)為極大值點(diǎn);(2)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值時(shí),它在這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不一定存在,例如函數(shù)y=|x|,結(jié)合圖象,知它在x=0處有極小值,但它在x=0處的導(dǎo)數(shù)不存在;(3)f′(x0)=0既不是函數(shù)f(x)在xx0處取得極值的充分條件也不是必要條件.最后提醒學(xué)生一定要注意對(duì)極值點(diǎn)進(jìn)行檢驗(yàn).

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