Question

【題目】已知函數(shù)，其中實(shí)數(shù)．

（Ⅰ）判斷是否為函數(shù)的極值點(diǎn)，并說(shuō)明理由；

（Ⅱ）若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）是函數(shù)的極值點(diǎn)；（Ⅱ） .

【解析】試題分析: （Ⅰ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo),將代入導(dǎo)函數(shù)的分子,可得函數(shù)值為0,根據(jù)判別式結(jié)合驗(yàn)證可得, 1是函數(shù)的異號(hào)零點(diǎn)，所以是函數(shù)的極值點(diǎn)．（Ⅱ）分類討論參數(shù)a, 當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以恒成立；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以不等式不能恒成立.

試題解析:（Ⅰ）由可得函數(shù)定義域?yàn)?/span>．

，

令，經(jīng)驗(yàn)證，

因?yàn)?/span>，所以的判別式，

由二次函數(shù)性質(zhì)可得，1是函數(shù)的異號(hào)零點(diǎn)，

所以是的異號(hào)零點(diǎn)，

所以是函數(shù)的極值點(diǎn)．

（Ⅱ）已知，

因?yàn)?/span>，

又因?yàn)?/span>，所以，

所以當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，所以函數(shù)單調(diào)遞減，所以有恒成立；

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，所以函數(shù)單調(diào)遞增，

所以，所以不等式不能恒成立；

所以時(shí)，有在區(qū)間恒成立．

點(diǎn)睛:本題考查學(xué)生的是導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性以及恒成立問(wèn)題的應(yīng)用,屬于中檔題目. 導(dǎo)數(shù)與極值點(diǎn)的關(guān)系：(1)定義域D上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，并且f′(x)在x0兩側(cè)異號(hào)，若左負(fù)右正為極小值點(diǎn)，若左正右負(fù)為極大值點(diǎn)；(2)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值時(shí)，它在這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不一定存在，例如函數(shù)y＝|x|，結(jié)合圖象，知它在x＝0處有極小值，但它在x＝0處的導(dǎo)數(shù)不存在；(3)f′(x0)＝0既不是函數(shù)f(x)在x＝x0處取得極值的充分條件也不是必要條件．最后提醒學(xué)生一定要注意對(duì)極值點(diǎn)進(jìn)行檢驗(yàn)．