Question

已知橢圓C：3x²+y²=12，直線x-y-2=0交橢圓C于A，B兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的焦點坐標及長軸長；
（Ⅱ）求以線段AB為直徑的圓的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）把橢圓C的方程化為標準方程，能求出橢圓C的焦點坐標和長軸長．
（Ⅱ）由

3x2+y2=12 x-y-2=0

，求出點A（2，0），B（-1，-3），由此推導出以線段AB為直徑的圓的圓心坐標和半徑，由此能求出以線段AB為直徑的圓的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：3x²+y²=12，
∴

x2

4

+

y2

12

=1，
由方程可知：a²=12，b²=4，c²=a²-b²=8，c=2

2

．…（3分）
∴橢圓C的焦點坐標為(0，2

2

)，(0，-2

2

)，
長軸長2a為4

3

．…（5分）
（Ⅱ）由

3x2+y2=12 x-y-2=0

，
得：x²-x-2=0．
解得：x=2或x=-1．
∴點A，B的坐標分別為（2，0），（-1，-3）．…（7分）
∴A，B中點坐標為(

1

2

，-

3

2

)，
∴|AB|=

(2+1)2+(0+3)2

=3

2

．…（9分）
∴以線段AB為直徑的圓的圓心坐標為(

1

2

，-

3

2

)，半徑為

3 2

2

．
∴以線段AB為直徑的圓的方程為(x-

1

2

)2+(y+

3

2

)2=

9

2

．…（11分）

點評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應用，考查圓的方程的求法，是中檔題，解題時要注意函數(shù)與方程思想的合理運用．