Question

分別過橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）左、右焦點F₁、F₂的動直線l₁、l₂相交于P點，與橢圓E分別交于A、B與C、D不同四點，直線OA、OB、OC、OD的斜率分別為k₁、k₂、k₃、k₄，且滿足k₁+k₂=k₃+k₄，已知當l₁與x軸重合時，|AB|=2

3

，|CD|=

4 3

3

．
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在定點M，N，使得|PM|+|PN|為定值？若存在，求出M、N點坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導出|AB|=2a=2

3

，|CD|=

2b2

a

=

4 3

3

，由此能求出橢圓E的方程．
（2）焦點F₁、F₂坐標分別為（-1，0），（1，0），當直線l₁或l₂斜率不存在時，P點坐標為（-1，0）或（1，0），當直線l₁，l₂斜率存在時，設斜率分別為m₁，m₂，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x2 3 + y2 2 =1 y=m1(x+1)

，得(2+3m12)x2+6m12x+3m12-6=0，由此利用韋達定理結合題設條件能推導出存在點M，N其坐標分別為（0，-1）、（0，1），使得|PM|+|PN|為定值2

2

．

解答： 解：（1）當l₁與x軸重合時，k₁+k₂=k₃+k₄=0，
即k₃=-k₄，
∴l(xiāng)₂垂直于x軸，得|AB|=2a=2

3

，|CD|=

2b2

a

=

4 3

3

，
解得a=

3

，b=

2

，
∴橢圓E的方程為

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）焦點F₁、F₂坐標分別為（-1，0），（1，0），
當直線l₁或l₂斜率不存在時，P點坐標為（-1，0）或（1，0），
當直線l₁，l₂斜率存在時，設斜率分別為m₁，m₂，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x2 3 + y2 2 =1 y=m1(x+1)

，
得(2+3m12)x2+6m12x+3m12-6=0，
∴x1+x2=-

6m12

2+3m12

，x1x2=

3m12-6

2+3m12

，
k1+k2=

y1

x1

+

y2

x2

=m1(

x1+1

x1

+

x2+1

x2

)=m1(2+

x1+x2

x1x2

)=

-4m1

m12-2

，
同理k₃+k₄=

-4m2

m22-2

，
∵k₁+k₂=k₃+k₄，
∴

-4m1

m12-2

=

-4m2

m22-2

，即（m₁m₂+2）（m₂-m₁）=0，
由題意知m₁≠m₂，
∴m₁m₂+2=0，
設P（x，y），則

y

x+1

•

y

x-1

+2=0，
即

y2

2

+x2=1，x≠±1，
由當直線l₁或l₂斜率不存在時，
P點坐標為（-1，0）或（1，0）也滿足，
∴點P（x，y）點在橢圓

y2

2

+x2=1上，
∴存在點M，N其坐標分別為（0，-1）、（0，1），
使得|PM|+|PN|為定值2

2

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查是否存在定點M，N，使得|PM|+|PN|為定值的判斷與證明，對數(shù)學思維的要求較高，有一定的探索性，解題時要注意函數(shù)與方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．