Question

下列命題正確的是（　�。�
①若f（3^x）=4xlog₂3+2，則f（2）+f（4）+…+f（2⁸）=180；
②函數(shù)f（x）=tan2x的對(duì)稱(chēng)中心是（

kπ

2

，0）（k∈Z）；
③“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是“?x∈R，x³-x²+1＞0”；
④設(shè)常數(shù)α使方程sinx+

3

cosx=α在閉區(qū)間[0，2π]上恰有三個(gè)解x₁，x₂，x₃，則x₁+x₂+x₃=

7π

3

．

• A、①③
• B、②③
• C、②④
• D、③④

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：求出函數(shù)的解析式，然后求出數(shù)列的和判斷①的真假．利用反例判斷②的正誤；通過(guò)特稱(chēng)命題的否定判斷③的正誤；請(qǐng)查收的三個(gè)零點(diǎn)，求出和判斷④的正誤．

解答： 解：對(duì)于①，若f（3^x）=4xlog₂3+2=4log₂3^x+2，令3^x=t，可得f（t）=4log₂t+2，
則f（2）+f（4）+…+f（2⁸）=4log₂2+2+8log₂2+2+12log₂2+2+16log₂2+2+20log₂2+2+24log₂2+2+28log₂2+2+32log₂2+2=160≠180，所以①不正確．
對(duì)于②，函數(shù)f（x）=tan2x的對(duì)稱(chēng)中心是（

kπ

4

，0）（k∈Z），所以②不正確．
對(duì)于③，“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是“?x∈R，x³-x²+1＞0”；滿足特稱(chēng)命題的否定形式，所以③正確．
對(duì)于④，設(shè)常數(shù)a使方程sinx+

3

cosx=a化為2sin（x+

π

3

）=a，在閉區(qū)間[0，2π]上恰有三個(gè)解x₁=0，x₂=

π

3

，x₃=2π，則x₁+x₂+x₃=

7π

3

．所以④正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，可以采用排除法解答，方便快捷，本題考查函數(shù)的解析式的求法，命題的否定，函數(shù)的零點(diǎn)以及三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．