Question

5．有下列命題：①雙曲線$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1$與橢圓$\frac{x^2}{35}+{y^2}=1$有相同的焦點(diǎn)；
②“-$\frac{1}{2}$＜x＜0”是“2x²-5x-3＜0”必要不充分條件；
③若$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$共線，則$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$所在的直線平行；
④等軸雙曲線的離心率是$\sqrt{2}$；
⑤?x∈R，x²-3x+3≠0．
其中是真命題的有：①④⑤．

Answer 1

分析 ①求出雙曲線和橢圓的焦點(diǎn)進(jìn)行判斷．
②根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．
③根據(jù)向量關(guān)系與直線的位置關(guān)系進(jìn)行判斷．
④根據(jù)等軸雙曲線的定義進(jìn)行判斷．
⑤根據(jù)一元二次方程的根與判別式△的關(guān)系進(jìn)行求解．

解答 解：①雙曲線$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1$中a²=25，b²=9，則c²=25+9=34，則c=$\sqrt{34}$，對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（$\sqrt{34}$，0），（-$\sqrt{34}$，0），
橢圓$\frac{x^2}{35}+{y^2}=1$中a²=35，b²=1，則c²=35-1=34則c=$\sqrt{34}$，對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（$\sqrt{34}$，0），（-$\sqrt{34}$，0），
雙曲線和橢圓的焦點(diǎn)相同；故①正確，
②由2x²-5x-3＜0得-$\frac{1}{2}$＜x＜3，
則“-$\frac{1}{2}$＜x＜0”是“2x²-5x-3＜0”充分不必要條件；故②錯(cuò)誤，
③若$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$共線，則$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$所在的直線平行或重合，故③錯(cuò)誤；
④等軸雙曲線的離心率是$\sqrt{2}$正確，故④正確；
⑤∵判別式△=9-4×3=9-12=-3＜0，
∴?x∈R，x²-3x+3≠0成立，故⑤正確，
故正確的命題是①④⑤，
故答案為：①④⑤

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的真假判斷，涉及圓錐曲線的定義和性質(zhì)以及充分條件和必要條件的判斷，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多．