Question

20．已知焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線C的一條漸近線與直線$l：x+\sqrt{3}y=0$垂直，且C的一個焦點(diǎn)到l的距離為3，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　�。�

• A． $\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{3}=1$
• B． $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{3}=1$
• C． $\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{6}=1$
• D． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{6}=1$

Answer 1

分析 可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$，從而可得出漸近線方程，根據(jù)一條漸近線和l垂直，可以求出這條漸近線的斜率，從而得到$\frac{a}=\sqrt{3}$，而根據(jù)焦點(diǎn)到l的距離為3可以求出c=$2\sqrt{3}$，再根據(jù)c²=a²+b²便可求出a²，b²，從而得出雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$；
∴漸近線方程為，$y=±\frac{a}x$；
直線l的斜率為$-\frac{1}{\sqrt{3}}$；
∴$\frac{a}=\sqrt{3}$；
又（0，c）到直線l的距離為3；
∴$\frac{\sqrt{3}c}{2}=3$；
∴$c=2\sqrt{3}$；
∴a²+b²=3b²+b²=12；
∴b²=3，a²=9；
∴C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{9}-\frac{{x}^{2}}{3}=1$．
故選：A．

點(diǎn)評 考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出其漸近線方程，相互垂直的直線的斜率的關(guān)系，以及點(diǎn)到直線的距離公式，c²=a²+b²．