Question

已知函數(shù)f(x)=(x-a)²(x-b)(a，b∈R，a＜b)，
(1)當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程；
(2)設(shè)x₁，x₂是f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，x₃是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，且x₃≠x₁，x₃≠x₂，證明：存在實(shí)數(shù)x₄，使得x₁，x₂，x₃，x₄按照某種順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列，并求x₄。

Answer 1

解：(1)當(dāng)a=1，b=2時(shí)，f(x)=(x-1)²(x-2)=x³-4x²+5x-2，
所以f′(x)=3x²-8x+5，
故f′(2)=1，
又f(2)=0，
所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(2，0)處的切線方程為y=x-2．
(2)因?yàn)閒′(x)=3(x-a)(x-)，
由于a＜b，故a＜，
所以f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為x=a，x=，
不妨設(shè)x₁=a，，
因?yàn)閤₃≠x₁，x₃≠x₂，且x₃是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，所以x₃=b，
又因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20111104/201111041130183591199.gif">，，
所以成等差數(shù)列，
所以存在實(shí)數(shù)x₄滿足題意，且。