Question

已知點(diǎn)P（x，y）滿足x²-8x+y²-4y+16≤0，則

y

x

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：將已知條件中不等式x²-8x+y²-4y+16≤0進(jìn)行化簡，得（x-4）²+（y-2）²≤4，則（x，y）表示圓（x-4）²+（y-2）²=4及其內(nèi)部的點(diǎn)，由

y

x

表示兩點(diǎn)（x，y），（0，0）的斜率k，當(dāng)直線y=kx與圓相切時(shí)k取最大最小值．根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑確定

y

x

的最大最小值．

解答： 解：∵不等式x²-8x+y²-4y+16≤0可化簡為：（x-4）²+（y-2）²≤4，
則（x，y）表示圓（x-4）²+（y-2）²=4及其內(nèi)部的點(diǎn)，
∵

y

x

可看做為兩點(diǎn)（x，y），（0，0）連線的斜率，
設(shè)k=

y

x

，
即kx-y=0，
當(dāng)直線與圓相切時(shí)，k取最大最小值，此時(shí)，圓心到直線的距離d=r，
即d=

|4k-2|

k2+1

=2，
解得：k=0，或k=

4

3

，
∴

y

x

的取值范圍是[0，

4

3

]．

點(diǎn)評：此題考查了直線與圓相切的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：點(diǎn)到直線的距離公式，直線與圓相切時(shí)滿足的條件，利用了轉(zhuǎn)化的思想，求出直線與圓相切時(shí)斜率的值是解本題的關(guān)鍵．