Question

已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率，是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足， （其中實(shí)數(shù)為常數(shù)）．

（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)，且直線過點(diǎn)且垂直于軸時(shí)，求過三點(diǎn)的外接圓方程；

（3）若直線與的斜率乘積，問是否存在常數(shù)，使得動(dòng)點(diǎn)滿足，其中，若存在求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

解：（I）有題設(shè)可知：∴     又，∴，∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）由題意可求

設(shè)圓的方程，將三點(diǎn)代入求出，所以圓的方程是

（3）設(shè)P(x，y)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，                        

則由得

(x，y)＝(x₁，y₁)＋ (x₂，y₂)＝(x₁＋x₂，y₁＋y₂)，即x＝x₁＋x₂，y＝y₁＋y₂. 因?yàn)辄c(diǎn)A、B在橢圓x²＋2y²＝2上，

所以x＋2y＝2，x＋2y＝2，故x²＋2y²＝(x＋x＋2x₁x₂)＋2(y＋y＋2y₁y₂)＝(x＋2y)＋ (x＋2y)＋2 (x₁x₂＋2y₁y₂)

＝2＋2+2 (x₁x₂＋2y₁ y₂)．

設(shè)k_OA，k_OB分別為直線OA，OB的斜率，

由題設(shè)條件知k_OA·k_OB＝＝－，因此x₁x₂＋2y₁y₂＝0，   所以x²＋2y²＝2＋2. 即所以P點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，

設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)為，，則由橢圓的定義為定值．

所以4 ，,因此兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)為 (－，0)，

使得