Question

求函數(shù)y=

sin2x

1-sinx-cosx

+sin2x的值域．

Answer 1

分析：由于sin2x=2sinxcosx，設(shè)sinx+cosx=t，則sin2x=2sinxcosx=t²-1，這樣一來(lái)，原函數(shù)就轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)了，
接下來(lái)，求關(guān)于t的二次函數(shù)的值域．

解答：解：設(shè)sinx+cosx=t，則t∈[-

2

， 1)∪ (1，

2

]
∴sin2x=2sinxcosx=t²-1，
∴y=

sin2x

1-sinx-cosx

+sin2x=

t2-1

1-t

+t2-1=t2-t-2
∵t∈[-

2

， 1)∪ (1，

2

]
∴y∈[-2.25，-2)∪(2，

2

]
∴值域：[-2.25，-2)∪(2，

2

]．

點(diǎn)評(píng)：有關(guān)sinx+cosx與sinxcosx的三角函數(shù)式的值域問(wèn)題，通常采用換元法，設(shè)sinx+cosx=t，則sin2x=2sinxcosx=t²-1．
轉(zhuǎn)化成關(guān)于新的變量t的函數(shù)值域問(wèn)題來(lái)解決，特別要注意新變量t的取值范圍．