Question

【題目】（改編）已知正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足；在數(shù)列中，

（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為. 若對任意，存在實(shí)數(shù)，使恒成立，求的最小值；

（3）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】分析：（1）根據(jù)及與間的關(guān)系可得數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而可得通項(xiàng)公式；由兩邊取倒數(shù)后整理得，可得等比數(shù)列，從而可求得．（2）根據(jù)題意得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)錯(cuò)位相減法求得，根據(jù)的單調(diào)性和不等式可得，進(jìn)而可得的范圍．（3）根據(jù)及等比數(shù)列的求和公式可得．

詳解：（1）∵，

∴，

∴，

整理得，

∵，

∴．

又當(dāng)時(shí)，，解得，

∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，

∴．

將兩邊取倒數(shù)得，

∴，

又，

∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，

∴，

∴．

（2）由題意得，

∴ ①

∴ ②

①②得

，

∴．

易知數(shù)列單調(diào)遞增，

∴．

又，

∴，

∴，

∴，

∴的最小值為．

（3）由題意得

　

∵，

∴，

∴．