Question

9．對(duì)于函數(shù)f（x），若對(duì)于任意的x₁，x₂，x₃∈R，f（x₁），f（x₂），f（x₃）為某一三角形的三邊長(zhǎng)，則稱f（x）為“可構(gòu)成三角形的函數(shù)”．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{{e^x}+t}}{{{e^x}+1}}$是“可構(gòu)成三角形的函數(shù)”，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（   A ）（　　）

• A． $[{\frac{1}{2}，2}]$
• B． [0，1]
• C． [1，2]
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 因?qū)θ我鈱?shí)數(shù)a、b、c，都存在以f（a）、f（b）、f（c）為三邊長(zhǎng)的三角形，則f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，將f（x）解析式用分離常數(shù)法變形，由均值不等式可得分母的取值范圍，整個(gè)式子的取值范圍由t-1的符號(hào)決定，故分為三類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域，然后討論k轉(zhuǎn)化為f（a）+f（b）的最小值與f（c）的最大值的不等式，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)k 的取值范圍

解答 解：由題意可得f（a）+f（b）＞f（c）對(duì)于?a，b，c∈R都恒成立，
由于f（x）=$\frac{{{e^x}+t}}{{{e^x}+1}}$=$1+\frac{t-1}{{e}^{x}+1}$是“可構(gòu)成三角形的函數(shù)”，
①當(dāng)t-1=0，f（x）=1，此時(shí)，f（a），f（b），f（c）都為1，構(gòu)成一個(gè)等邊三角形的三邊長(zhǎng)，滿足條件．
②當(dāng)t-1＞0，f（x）在R上是減函數(shù)，1＜f（a）＜1+t-1=t，
同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，
由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2≥t，解得1＜t≤2．
③當(dāng)t-1＜0，f（x）在R上是增函數(shù)，t＜f（a）＜1，
同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，
由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2t≥1，解得1＞t≥$\frac{1}{2}$．
綜上可得，$\frac{1}{2}$≤t≤2，
故實(shí)數(shù)t的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，2]；
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了求參數(shù)的取值范圍，以及構(gòu)成三角形的條件和利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，同時(shí)考查了分類討論的思想，屬于難題