【題目】橢圓C: + =1(a>b>0)的離心率為 ,過左焦點任作直線l,交橢圓的上半部分于點M,當l的斜率為 時,|FM|=
(1)求橢圓C的方程;
(2)橢圓C上兩點A,B關于直線l對稱,求△AOB面積的最大值.

【答案】
(1)

解:依題意∴ ),∴ ,

又∵ ,解得a2=3,b2=2.

∴橢圓C的方程為:


(2)

解:依題意直線l不垂直x軸,

當直線l的斜率k≠0時,可設直線l的方程為:y=k(x+1)(k≠0)

則直線AB的方程為:y=﹣

聯(lián)立 ,得

, …①.

設AB的中點為C,則xC=

點C在直線l上,∴ ,m=﹣2k﹣ …②

此時 與①矛盾,故k≠0時不成立.

當直線l的斜率k=0時,A(x0,y0),B(x0,﹣y0) (x0>0,y0>0)

△AOB面積s=

,∴ ..

∴△AOB面積的最大值為 ,當且僅當 時取等號.


【解析】(1)根據(jù)離心率及弦長構造方程組,求得a,b. (2)當直線l的斜率k≠0時,可設直線l的方程為:y=k(x+1)(k≠0)
聯(lián)立直線與橢圓方程,由△>0得到k,m的關系式,再由對稱性求得k,m的關系式,此時k不存在.
當直線l的斜率k=0時,A(x0 , y0),B(x0 , ﹣y0) (x0>0,y0>0)△AOB面積s=
由均值不等式求解.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用橢圓的標準方程的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸:,焦點在y軸:

練習冊系列答案
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