Question

若定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)y=f（x）滿足f（1+x）=f（1-x），且（x-1）f′（x）＜0（x≠1），則“對(duì)于任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）”是“x₁+x₂＞2”的（　　）

• A、充分不必要條件
• B、必要不充分條件
• C、充分必要條件
• D、既不充分也不必要條件

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：求出函數(shù)y=f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)軸，然后根據(jù)（x-1）f′（x）＜0，判定函數(shù)在對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)的單調(diào)性，最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性對(duì)充分性和必要性分別加以驗(yàn)證，即可得到本題答案

解答： 解：∵f（1+x）=f（1-x），∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)，
∵（x-1）f′（x）＜0，
∴x＜1時(shí)，f'（x）＞0，可得函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＜0，可得函數(shù)f（x）單調(diào)遞減
①當(dāng)f（x₁）＞f（x₂）時(shí)，結(jié)合x(chóng)₁＜x₂，
由函數(shù)單調(diào)性可得1＜x₁＜x₂，
或1＞x₁＞2-x₂，
即x₁+x₂＞2成立，故充分性成立；
②當(dāng)x₁+x₂＞2時(shí)，因?yàn)閤₁＜x₂，必有x₁＞2-x₂成立，
所以結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x₁）＞f（x₂）成立，故必要性成立
綜上所述，“f（x₁）＞f（x₂）”是“x₁+x₂＞2”的充分必要條件，
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．