Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a_n≥1，a₁=1，且an+1-an=

2

an+1+an-1

，n∈N*．
（1）記bn=(an-

1

2

)2，n∈N*，證明：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設c_n=（2a_n-1）²，求

1

c1c2

+

1

c2c3

+…+

1

cncn+1

的值．

Answer 1

分析：（1）因為an+1-an=

2

an+1+an-1

，所以a_n+1²-a_n²-a_n+1+a_n=2，由此能證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求出求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）因為c_n=（2a_n-1）²=8n-7，所以

1

cncn+1

=

1

(8n-7)(8n+1)

=

1

8

(

1

8n-7

-

1

8n+1

)，由此能求出

1

c1c2

+

1

c2c3

+…+

1

cncn+1

的值．

解答：解：（1）因為an+1-an=

2

an+1+an-1

，
所以a_n+1²-a_n²-a_n+1+a_n=2，----2
因為b_n+1-b_n=a_n+1²-a_n²-a_n+1+a_n=2，
所以數(shù)列{b_n}是以

1

4

為首項，2為公差的等差數(shù)列----5
bn=

8n-7

4

，
∴an=

1+ 8n-7

2

．----8
（2）因為c_n=（2a_n-1）²=8n-7，----10
所以

1

cncn+1

=

1

(8n-7)(8n+1)

=

1

8

(

1

8n-7

-

1

8n+1

)
∴

1

c1c2

+

1

c2c3

+…+

1

cncn+1

=

1

8

(

1

8-7

-

1

8+1

)+

1

8

(

1

16-7

-

1

16+1

)+…+

1

8

(

1

8n-7

-

1

8n+1

)
=

1

8

(1-

1

8n+1

)
=

n

8n+1

．----12

點評：本題考查等差數(shù)列的證明和數(shù)列通項公式的求法及數(shù)列前n項和的計算，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．