Question

已知函數(shù)．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（3）設函數(shù)．若至少存在一個x∈[1，e]，使得f（x）＞g（x）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當a=2時求出f（1），切線斜率k=f′（1），利用點斜式即可求得切線方程；
（2）求出函數(shù)定義域，分①當a≤0，②當a＞0兩種情況討論解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0即可；
（3）存在一個x∈[1，e]使得f（x）＞g（x），則ax＞2lnx，等價于，令，等價于“當x∈[1，e]時，a＞F（x）_min”．利用導數(shù)易求其最小值．
解答：解：函數(shù)的定義域為（0，+∞），．   
（1）當a=2時，函數(shù)，f′（x）=，
因為f（1）=0，f'（1）=2．
所以曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-0=2（x-1），即2x-y-2=0．
（2）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．
①當a≤0時，h（x）=ax²-2x+a＜0在（0，+∞）上恒成立，
則f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
此時f（x）在（0，+∞）上單調遞減． 
②當a＞0時，△=4-4a²，
（�。┤�0＜a＜1，
由f'（x）＞0，即h（x）＞0，得或； 
由f'（x）＜0，即h（x）＜0，得．
所以函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為和，
單調遞減區(qū)間為．  
（ⅱ）若a≥1，h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，則f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，此時f（x）在（0，+∞）上單調遞增． 
（3））因為存在一個x∈[1，e]使得f（x）＞g（x），
則ax＞2lnx，等價于．
令，等價于“當x∈[1，e]時，a＞F（x）_min”．
對F（x）求導，得．
因為當x∈[1，e]時，F(xiàn)'（x）≥0，所以F（x）在[1，e]上單調遞增．
所以F（x）_min=F（1）=0，因此a＞0．
點評：本題考查導數(shù)的幾何意義、導數(shù)研究函數(shù)單調性及求函數(shù)的最值問題，考查學生分析問題解決問題的能力，對于“能成立”問題及“恒成立”問題往往轉化為函數(shù)最值解決．