Question

平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）與兩定點(diǎn)A（-2，0），B（2，0）連接的斜率之積等于-

1

4

，若點(diǎn)P的軌跡為曲線E，過點(diǎn)Q（-

6

5

，0），直線l交曲線E于M，N兩點(diǎn)．
（1）求曲線E的方程，并證明：∠MAN是一定值；
（2）若四邊形AMBN的面積為S，求S的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），當(dāng)x≠±2時(shí)，由條件得曲線E的方程為：

x2

4

+y2=1，(x≠±2)，設(shè)直線MN的方程為x=ky-

6

5

，聯(lián)立

x=ky- 6 5 x2 4 +y2=1

，得（k²+4）y²-

12

5

ky-

64

25

=0，由此韋達(dá)定理得到

AM

•

AN

=0，從而證明∠MAN的大小為定值90°．
（Ⅱ）S=

1

2

|AB|•|y₁-y₂|=8

25k2+64 (k2+4)2

．令k²+4=t，（t≥4），得S=8

25t-36 t2

，設(shè)f（t）=

25t-36

t2

，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出由t=4，得k=0，此時(shí)S有最大值16．

解答： 解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），當(dāng)x≠±2時(shí)，
由條件得：

y

x-2

•

y

x+2

=-

1

4

，化簡(jiǎn)得

x2

4

+y2=1，(x≠±2)，
∴曲線E的方程為：

x2

4

+y2=1，(x≠±2)．…（4分）
（說明：不寫x≠±2的扣1分）
由題可設(shè)直線MN的方程為x=ky-

6

5

，
聯(lián)立方程組

x=ky- 6 5 x2 4 +y2=1

，化簡(jiǎn)得：（k²+4）y²-

12

5

ky-

64

25

=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y1y2=-

64

25(k2+4)

，y1+y2=

12k

5(k2+4)

，…（6分）
又A（-2，0），則

AM

•

AN

=（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂）=（k²+1）y₁y₂+

4

5

k（y₁+y₂）+

16

25

=0，
∴∠MAN=90°，∴∠MAN的大小為定值90°．…（8分）
（Ⅱ）S=

1

2

|AB|•|y₁-y₂|
=

1

2

|2+2|•

(y1+y2)2-4y1y2

=2

( 12k 5(k2+4) )2+ 4×64 25(k2+4)

=8

25k2+64 (k2+4)2

．
令k²+4=t，（t≥4），∴k²=t-4，
∴S=8

25t-36 t2

，設(shè)f（t）=

25t-36

t2

，
∴f′(t)=

-25-2t(25t-36)

t4

=

-25t+72

t3

，
∵t＞4，∴f′（t）＜0，∴y=f（t）在[4，+∞）上單調(diào)遞減．
∴f（t）≤f（4）=

100-36

16

=4，
由t=4，得k=0，此時(shí)S有最大值16．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線方程的求法，考查角為定值的證明，考查四邊形面積的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．