Question

若函數(shù)y=x²-2ax，x∈[2，4]，求函數(shù)的最小值g（a）的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先判斷出函數(shù)y=x²-2ax=（x-a）²-a²開口方向向上，對(duì)稱軸為動(dòng)直線x=a；然后根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，分①當(dāng)a＜2時(shí)，②當(dāng)2≤a≤4時(shí)，③當(dāng)a＞4時(shí)三種情況討論，求出函數(shù)的最小值g（a）的表達(dá)式即可．

解答： 解：∵函數(shù)y=x²-2ax=（x-a）²-a²開口方向向上，
∴對(duì)稱軸為動(dòng)直線x=a，
由對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，分三種情況討論：
①當(dāng)a＜2時(shí)，函數(shù)在[2，4]上單調(diào)遞增，
則當(dāng)x=2時(shí)，y_min=g（a）=4-4a； 
②當(dāng)2≤a≤4時(shí)，函數(shù)在[2，a]上單調(diào)遞減，在[a，4]上單調(diào)遞增，
則當(dāng)x=a時(shí)，y_min=g（a）=-a²；
③當(dāng)a＞4時(shí)，函數(shù)在[2，4]上單調(diào)遞減，
則當(dāng)x=4時(shí)，y_min=g（a）=16-8a．
綜上，g（a）=

4-4a，a＜2 -a2，2≤a≤4 16-8a，a＞4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，以及求二次函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的最值的方法，考查了分類討論思想的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．