Question

一個被繩子牽著的小球做圓周運動（如圖）．它從初始位置P₀開始，按逆時針方向以角速度ω rad/s做圓周運動．已知繩子的長度為l，求：
（Ⅰ）P的縱坐標y關于時間t的函數(shù)解析式；
（Ⅱ）如果ω=

π

6

rad/s，l=2，|φ|＜

π

2

，當t=

3

2

s時，y首次達到最大值，求φ的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，試求小球到達x軸的正半軸所需的時間．

Answer 1

考點：任意角的三角函數(shù)的定義,單位圓與周期性

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）由題意可得，∠POx=φ+ωt，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得P點縱坐標y=|OP|sin∠POx，化簡可得結果
（Ⅱ）令相位

π

6

×

3

2

+φ=

π

2

，即可求得φ 的值．
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，令相位

π

6

t+

π

4

=2π，即可求得小球到達x軸的正半軸所需的時間t的值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，∠POx=∠P₀0x+ωt=φ+ωt根據(jù)三角函數(shù)的定義，
可得P點縱坐標y=|OP|sin∠POx=rsin（φ+ωt），
即所求y關于時間t的函數(shù)關系為y=rsin（ωt+φ）．
（Ⅱ）∵ω=

π

6

rad/s，l=2，|φ|＜

π

2

，當t=

3

2

s時，y首次達到最大值，
可得

π

6

×

3

2

+φ=

π

2

，∴φ=

π

4

．
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，令相位

π

6

t+

π

4

=2π，求得t=

21

2

（s），
即求小球到達x軸的正半軸所需的時間為

21

2

s．

點評：本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，單位圓及y=Asin（ωx+φ）的圖象特征，屬于基礎題．