Question

【題目】如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D﹣ABC，如圖2所示．

（Ⅰ）求證：BC⊥平面ACD；

（Ⅱ）求幾何體D﹣ABC的體積．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】解：（Ⅰ）

【解法一】：在圖1中，由題意知，，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC

取AC中點O，連接DO，則DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，

且平面ADC∩平面ABC=AC，DO平面ACD，從而OD⊥平面ABC，

∴OD⊥BC

又AC⊥BC，AC∩OD=O，

∴BC⊥平面ACD

【解法二】：在圖1中，由題意，得，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC

∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，BC面ABC，∴BC⊥平面ACD

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC為三棱錐B﹣ACD的高，且，S△ACD=×2×2=2，

所以三棱錐B﹣ACD的體積為：，

由等積性知幾何體D﹣ABC的體積為：．