Question

（2011•安徽模擬）已知函數(shù)f(x)=2sin2(

π

4

-x)-2

3

cos2x+

3

（Ⅰ）求f（x）最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）＜m+2在x∈[0，

π

6

]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由已知中函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)二倍角的余弦公式，誘導公式和和差角公式，可將函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)的形式，進而根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到f（x）最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（II）由（I）中函數(shù)的解析式及正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合當0≤x≤

π

6

，有

π

3

≤2x+

π

3

≤

2

3

π，我們可以求出函數(shù)f（x）的值域，進而根據(jù)f(x)＜m+2在x∈[0，

π

6

]上恒成立，構(gòu)造關于m的不等式，求出m的取值范圍．

解答：解：（I）∵函數(shù)f(x)=2sin2(

π

4

-x)-2

3

cos2x+

3

∴f(x)=1-cos(

π

2

-2x)-

3

cos2x=1-sin2x-

3

cos2x=-2sin(2x+

π

3

)+1
∴T=

2π

2

=π
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，
即-

5

12

π+kπ≤x≤

π

12

+kπ，
故f（x）的遞減區(qū)間：[-

5

12

π+kπ，

π

12

+kπ](k∈z)…（6分）
（II）由f(x)＜m+2在x∈[0，

π

6

]上恒成立，
得f（x）_max＜m+2，x∈[0，

π

6

]
由0≤x≤

π

6

，有

π

3

≤2x+

π

3

≤

2

3

π，
則

3

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1
故-1≤f(x)≤1-

3

，
則m+2＞1-

3

，
即m＞-1-

3

，

點評：本題考查的知識點是正弦函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的化簡求值，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的定義域和值域，其中根據(jù)已知求出函數(shù)的解析式是解答本題的關鍵．