Question

16．在等差數(shù)列{a_n}中，已知a₄=7，a₇=4，求：
（1）通項(xiàng)公式a_n；
（2）前n項(xiàng)和S_n的最大值及S_n取得最大值時(shí)n的值．

Answer 1

分析 （1）由已知數(shù)據(jù)和通項(xiàng)公式易得公差d，進(jìn)而可得通項(xiàng)公式；
（2）解不等式可得等差數(shù)列{a_n}前10項(xiàng)為正數(shù)，第11項(xiàng)為0，從第12項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)數(shù)，可得當(dāng)n=10或n=11時(shí)，前n項(xiàng)和S_n取最大值，代入求和公式計(jì)算可得．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則d=$\frac{{a}_{7}-{a}_{4}}{7-4}$=$\frac{4-7}{3}$=-1，
∴a_n=a₄+（n-4）d=7-（n-4）=11-n；
（2）令a_n=11-n≤0可得n≥11，
∴遞減的等差數(shù)列{a_n}前10項(xiàng)為正數(shù)，第11項(xiàng)為0，從第12項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)數(shù)，
∴當(dāng)n=10或n=11時(shí)，前n項(xiàng)和S_n取最大值，
由等差數(shù)列的求和公式可得S₁₀=$\frac{10（10+1）}{2}$=55

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式，涉及前n項(xiàng)和的最值，從數(shù)列項(xiàng)的正負(fù)入手是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．