Question

如圖：A（-

3

m，m），B（

3

n，n）兩點(diǎn)分別在射線0S，OT上移動(dòng)，且

OA

•

OB

=-

1

2

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

OP

=

OA

+

OB

．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)Q（x₀，

1

2

），過(guò)Q作（Ⅰ）中曲線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，
①求證：直線MN過(guò)定點(diǎn)；
②若

OM

•

ON

=-7，求x₀的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,軌跡方程

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出mn=

1

4

，設(shè)P坐標(biāo)為（x，y），（y＞0），由

OP

=

OA

+

OB

，能求出軌跡C的方程．
（Ⅱ）①由（Ⅰ）知，y=

1+ x2 3

，即y′=

x

3 1+ x2 3

，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由已知條件能求出lMN ：x0x-

3

2

y+3=0，由此能證明直線MN過(guò)定點(diǎn)（0，2）．
②設(shè)直線MN的方程為y=kx+2，直線MN的方程代入曲線C的方程得：（3k²-1）x²+12kx+9=0，由此利用根的判別式能求x₀的值．

解答： 解（Ⅰ）由已知得，

OA

•

OB

=-3mn+mn=-

1

2

，即mn=

1

4

，
設(shè)P坐標(biāo)為（x，y），（y＞0），由

OP

=

OA

+

OB

，
得：（x，y）=（-

3

m，m）+（

3

n，n）=（

3

(n-m)，

m+n

）
∴

x= 3 (n-m) y=m+n

，消去m，n得，y2-

x2

3

=1，（y＞0），
∴軌跡C的方程為：y2-

x2

3

=1，y＞0．…（4分）
（Ⅱ）①證明：由（Ⅰ）知，y=

1+ x2 3

，即y′=

x

3 1+ x2 3

，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則kQM=

x1

3 1+ x12 3

=

x2

3y2

，
∴l(xiāng)_QM：y=

x1

3y1

(x-x1)+y1，即l_QM：x₁x-3y₁y+3=0，
∵Q在直線QM上，∴x0x1-

3

2

y1+3=0…（1）
同理得x0x2-

3

2

y2+3=0…（2）
由（1）（2）可知，lMN ：x0x-

3

2

y+3=0，
∴直線MN過(guò)定點(diǎn)（0，2）．…（9分）
②解：由①可知，設(shè)直線MN的方程為y=kx+2，
由題意知

2x0

3

且|k|＜

3

3

，
將直線MN的方程代入曲線C的方程得：（3k²-1）x²+12kx+9=0，
∴x1+x2=-

12k

3k2-1

x₁x₂=

9

3k2-1

，
又

OM

•

ON

=x₁x₂+y1 y2
=x₁x₂+（kx₁+2）（kx₁+2）
=（k²+1）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=

5-3k2

3k2-1

=7，解得k=±

1

3

，
∴xo=±

1

2

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線方程的求法，考查滿足條件的料數(shù)值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式的合理運(yùn)用．