Question

3．已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=$\sqrt{x}（x-a）$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)g（a）為f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值．
（i）寫出g（a）的表達(dá)式；
（ii）求a的取值范圍，使得-6≤g（a）≤-2．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）（i）分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值．
（ii）令-6≤g（a）≤-2，解不等式，即可求a的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)閇0，+∞），
∴f′（x）=$\frac{3x-a}{2\sqrt{x}}$，
a≤0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是[0，+∞）；
a＞0時(shí)，f′（x）＞0，可得x＞$\frac{a}{3}$，f′（x）＜0，可得0＜x＜$\frac{a}{3}$，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（$\frac{a}{3}$，+∞），函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是[0，$\frac{a}{3}$）；
（2）（i）a≤0，函數(shù)在[0，2]上單調(diào)遞增，∴g（a）=f（0）=0，
0＜a＜6時(shí)，f（x）在[0，$\frac{a}{3}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{a}{3}$，2]上單調(diào)遞增，
∴g（a）=f（$\frac{a}{3}$）=-$\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}$，
a≥6時(shí)，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，∴g（a）=f（（2）=$\sqrt{2}$（2-a），
綜上所述，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{0，a≤0}\\{-\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}，0＜a＜6}\\{\sqrt{2}（2-a），a≥6}\end{array}\right.$；
（ii）-6≤g（a）≤-2，則
a≤0，無(wú)解；
0＜a＜6，解得3≤a＜6；
a≥6，解得6≤a≤2+3$\sqrt{2}$，
綜上所述，3≤a≤2+3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)的最小值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．