Question

已知向量

a

=（

1

2

，

1

2

sinx+

3

2

cosx）與

b

=（1，y）共線，設(shè)函數(shù)y=f（x）
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及值域；
（2）已知銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C若有f（A-

π

3

）=

3

，AC=1，AB=2，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),平行向量與共線向量,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)向量共線的充要條件及各差角公式，可將函數(shù)y=f（x）的解析式化為y=sinx+

3

cosx=2sin(x+

π

3

)，進(jìn)而根據(jù)A=ω=2，求出函數(shù)f（x）的最小正周期及值域；
（2）結(jié)合（1）中函數(shù)的解析式，由f（A-

π

3

）=

3

，可得sinA=

3

2

，再由AC=1，AB=2，代入三角形面積公式，可得答案．

解答： 解：（1）∵向量

a

=（

1

2

，

1

2

sinx+

3

2

cosx）與

b

=（1，y）共線，
∴

1

2

y=

1

2

sinx+

3

2

cosx，
∴y=sinx+

3

cosx=2sin(x+

π

3

)，
∵ω=2
∴T=2π
∵A=2，
∴函數(shù)f（x）的值域是[-2，2]
（2）由（1）中y=sinx+

3

cosx=2sin(x+

π

3

)，
∴f(A-

π

3

)=2sinA=

3

，
即sinA=

3

2

，
∵銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C
∴A=

π

3

又∵AC=1，AB=2
∴△ABC的面積S△ABC=

1

2

AC•AB•sinA=

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是兩角差的正弦函數(shù)公式，向量共線，三角函數(shù)的最值和周期，三角形面積公式，是三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．