Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

3

）
（1）若函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a（a＞0）對稱，求a的最小值；
（2）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）若存在x₀∈[-

π

12

，

π

6

]，使得mf（x₀）-2=0成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的單調(diào)性,正弦函數(shù)的對稱性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由題意可得2a+

π

3

=

π

2

+kπ，解得a即可得答案；
（2）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

解x的取值范圍可得；（3）由x₀∈[-

π

12

，

π

6

]可得f（x₀）的范圍，可得m的不等式，解不等式可得．

解答： 解：（1）∵直線x=a為函數(shù)y=f（x）的圖象的對稱軸，
∴2a+

π

3

=

π

2

+kπ，解得a=

π

12

+

kπ

2

，（k∈Z）
∵a＞0，∴a的最小值為

π

12

；
（2）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

可得
kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]（k∈Z）；
（3）∵x₀∈[-

π

12

，

π

6

]，∴2x₀+

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，
∴

1

2

≤sin（2x₀+

π

3

）≤1，∴1≤f（x₀）≤2，
要使mf（x₀）-2=0成立，只需f（x₀）=

2

m

，
∴1≤

2

m

≤2，解得1≤m≤2

點評：本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性和對稱性，涉及不等式的解法，屬基礎(chǔ)題．