Question

在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)，a=

2

b，2sinC+2sin(A-B)+

6

cos2A=

6

（1）求角B的大�。�
（2）若a=2，a＜c求△ABC的面積S．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專(zhuān)題：計(jì)算題,解三角形

分析：（1）利用兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式，化簡(jiǎn)題中的三角函數(shù)等式得2cosB=

6

sinA，然后利用a=

2

b算出sinA=

2

sinB，從而得出tanB的值，可得角B的大小．
（2）首先算出邊b=

2

2

a=

2

，再根據(jù)（1）的結(jié)論及a＜c算出角A=

π

4

，進(jìn)而算出sinC的值，最后利用三角形的面積公式加以計(jì)算，可得△ABC的面積S．

解答： 解：（1）∵2sinC+2sin(A-B)+

6

cos2A=

6

，
∴2sin(A+B)+2sin(A-B)=

6

(1-cos2A)，
即2sinAcosB=

6

sin2A，
結(jié)合sinA＞0，化簡(jiǎn)得2cosB=

6

sinA．
∵a=

2

b，∴由正弦定理可得sinA=

2

sinB．
因此，可得tanB=

sinB

cosB

=

3

3

，
而在△ABC中B∈（0，π），所以角B=

π

6

；
（2）∵a=

2

b，∴由正弦定理可得sinA=

2

sinB．
∴sinA=

2

sin

π

6

=

2

2

，
根據(jù)a＜c得到A＜C．
∴A=

π

4

，b=

2

，sinC=sin(A+B)=sin

5π

12

=

6 + 2

4

，
△ABC的面積S=

1

2

absin

5π

12

=

1

2

×2×

2

×

6 + 2

4

=

3 +1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形ABC滿(mǎn)足的條件，求角B的大小，并求三角形的面積．著重考查了三角恒等變換公式、正余弦定理與三角形的面積公式等知識(shí)，屬于中檔題．