Question

已知圓錐的母線長為10cm，底面半徑為5cm，
（1）求它的高；
（2）若該圓錐內(nèi)有一球，球與圓錐的底面及圓錐的所有母線都相切，求球的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：球的體積和表面積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)圓錐的定義，利用勾股定理加以計(jì)算，可得圓錐的高等于5

3

cm；
（2）作出圓錐的軸截面如圖，根據(jù)球與側(cè)面、底面相切，利用相似三角形的性質(zhì)列式列式，算出內(nèi)切球的半徑R，進(jìn)而利用球的體積公式可算出答案．

解答： 解：（1）設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為l，
∵l=10cm，r=5cm，∴h=

l2-r2

=

100-25

=5

3

cm
即圓錐的高等于5

3

cm；
（2）作出圓錐的軸截面如圖，球于圓錐側(cè)面相切，
則OE⊥AB于E，BD⊥AD于D，OE=OD=R，（R為球的半徑）
則△AEO～△ADB，可得

OE

BD

=

AO

AB

，即

R

5

=

5 3 -R

10

，
解之得球半徑R=

5 3

3

cm，
因此球的體積V=

4πR3

3

=

4π

3

×(

5 3

3

)3=

500 3 π

27

cm³．
答：（1）圓錐的高等于5

3

cm；（2）球的體積等于

500 3 π

27

cm³．

點(diǎn)評(píng)：本題給出圓錐滿足的條件，求它的高并求內(nèi)切球的體積．著重考查了圓錐的定義、球的體積公式、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．