Question

某高校在2012年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績，按成績共分五組，得到頻率分布表如下表所示．

組號	分組	頻數(shù)	頻率
第一組	[160，165）	5	0.05
第二組	[165，170）	35	0.35
第三組	[170，175）	30	①
第四組	[175，180）	②	0.2
第五組	[180，185）	10	0.1

（Ⅰ）請求出①②位置相應的數(shù)字，填在答題卡相應位置上，并補全頻率分布直方圖；
（Ⅱ）現(xiàn)決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣的方法抽取12人進入第二輪面試，求第3、4、5組中每組各抽取多少人進入第二輪的面試；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，學校決定在12人中隨機抽取3人接受“王教授”的面試，設第4組中被抽取參加“王教授”面試的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）利用頻率等于頻數(shù)乘以組距，能求出①②位置相應的數(shù)字，由此能補全頻率分布直方圖．
（Ⅱ）利用頻數(shù)等于頻率乘以樣本容量得到，第3，4，5組共有60名學生，利用各組的人數(shù)與樣本容量的比乘以60得到每組抽取的人數(shù)．
（3）由題設知ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和數(shù)學期望．

解答： 解：（Ⅰ）解：由題意知，第3組的頻率為

30

100

=0.3，
即①位置相應的數(shù)字為0.3； 
第4組的頻數(shù)為0.2×100=20人，
即②位置相應的數(shù)字為20． 
頻率分布直方圖如右圖所示．
（Ⅱ）因為第3、4、5組共有30+20+10=60名學生，
所以利用分層抽樣在60名學生中抽取12名學生，每組分別為：
第3組：

30

60

×12=6人，
第4組：

20

60

×12=4人，
第5組：

10

60

×12=2人，
所以第3、4、5組分別抽取6人、4人、2人進入第二輪的面試．
（Ⅲ）由題設知ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=

C 0 4 C 3 8

C 3 12

=

14

55

，
P（ξ=1）=

C 1 4 C 2 8

C 3 12

=

28

55

，
P（ξ=2）=

C 2 4 C 1 8

C 3 12

=

12

55

，
P（ξ=3）=

C 3 4 C 0 8

C 3 12

=

1

55

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	14 55	28 55	12 55	1 55

Eξ=0×

14

55

+1×

28

55

+2×

12

55

+3×

1

55

=1．

點評：本題考查古典概型及其概率公式．考查分層抽樣方法，本題好似一個概率與統(tǒng)計的綜合題目，題目的運算量適中，是一個比較好的題目