精英家教網(wǎng)如圖所示,一種醫(yī)用輸液瓶可以視為兩個圓柱的組合體.開始輸液時,滴管內(nèi)勻速滴下球狀液體,其中球狀液體的半徑r=
310
毫米,滴管內(nèi)液體忽略不計.
(1)如果瓶內(nèi)的藥液恰好156分鐘滴完,問每分鐘應(yīng)滴下多少滴?
(2)在條件(1)下,設(shè)輸液開始后x(單位:分鐘),瓶內(nèi)液面與進(jìn)氣管的距離為h(單位:厘米),已知當(dāng)x=0時,h=13.試將h表示為x的函數(shù).(注:1cm3=1000mm3
分析:(1)設(shè)每分鐘滴下k(k∈N*)滴,由圓柱的體積公式求出瓶內(nèi)液體的體積,再求出k滴球狀液體的體積,得到156分鐘所滴液體體積,由體積相等得到k的值.
(2)由(1)知,每分鐘滴下πcm3藥液,當(dāng)液面高度離進(jìn)氣管4至13cm時,x分鐘滴下液體的體積等于大圓柱的底面積乘以(13-h),當(dāng)液面高度離進(jìn)氣管1至4cm時,x分鐘滴下液體的體積等于大圓柱的體積與小圓柱底面積乘以(4-h)的和,由此即可得到瓶內(nèi)液面與進(jìn)氣管的距離為h與輸液時間x的函數(shù)關(guān)系.
解答:解:(1)設(shè)每分鐘滴下k(k∈N*)滴,
則瓶內(nèi)液體的體積V1=π•42•9+π•22•3=156πcm3,
k滴球狀液體的體積V2=k•
4
3
•π•10=
40k
3
mm3=
75
cm3,
156π=
75
×156
,解得k=75,故每分鐘應(yīng)滴下75滴.
(2)由(1)知,每分鐘滴下πcm3藥液,
當(dāng)4≤h≤13時,xπ=π•42•(13-h),即h=13-
x
16
,此時0≤x≤144;
當(dāng)1≤h<4時,xπ=π•42•9+π•22•(4-h),即h=40-
x
4
,此時144<x≤156.
綜上可得h(x)=
13-
x
16
, 0≤x≤144
40-
x
4
, 144<x≤156
點評:本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用,考查了簡單的數(shù)學(xué)建模思想方法,解答的關(guān)鍵是對題意的理解,然后正確列出體積相等的關(guān)系式,屬中檔題.
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35
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(1)如果瓶內(nèi)的藥液恰好分鐘滴完,問每分鐘應(yīng)滴下多少滴?

(2)在條件(1)下,設(shè)輸液開始后(單位:分鐘),瓶內(nèi)液面與進(jìn)氣管的距離為(單位:厘米),已知當(dāng)時,.試將表示為的函數(shù).(注:

 

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