Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁（側(cè)棱和底面垂直的棱柱）中，平面A₁BC⊥側(cè)面A₁ABB₁，AB=BC=AA₁=3，線段AC、A₁B上分別有一點E、F且滿足2AE=EC，2BF=FA₁．
（1）求證：AB⊥BC；
（2）求點E到直線A₁B的距離；
（3）求二面角F-BE-C的平面角的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：（1）過點A在平面A₁ABB₁內(nèi)作AD⊥A₁B于D，由已知條件推導(dǎo)出AD⊥平面A₁BC，由此能證明AB⊥BC．
（2）以點B為坐標(biāo)原點，以BC、BA、BB₁所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點E到直線A₁B的距離．
（3）分別求出平面BEF的法向量和平面BEC的法向量，利用向量法能求出二面角F-BE-C的平面角的余弦值．

解答： （1）證明：如圖，過點A在平面A₁ABB₁內(nèi)作AD⊥A₁B于D，
則由平面A₁BC⊥側(cè)面A₁ABB₁，
且平面A₁BC∩側(cè)面A₁ABB₁=A₁B，
∴AD⊥平面A₁BC，
又∵BC?平面A₁BC，∴AD⊥BC．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥BC．
又∵AA₁∩AD=A，∴BC⊥側(cè)面A₁ABB₁，
又∵AB?側(cè)面A₁ABB₁，∴AB⊥BC．…（4分）
（2）解：由（Ⅰ）知，以點B為坐標(biāo)原點，
以BC、BA、BB₁所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
B（0，0，0），A（0，3，0），C（3，0，0），A₁（0，3，3）
∵線段AC、A₁B上分別有一點E、F，滿足2AE=EC，2BF=FA₁，
∴E（1，2，0），F(xiàn)（0，1，1），
∴

EF

=(-1，-1，1)，

BA1

=(0，3，3)．
∵

EF

•

BA1

=0，∴EF⊥BA₁，
∴點E到直線A₁B的距離d=|EF|=

3

．…（8分）
（3）解：

BE

=(1，2，0)，

BF

=(0，1，1)，
設(shè)平面BEF的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • BE =x+2y=0 n • BF =y+z=0

，取x=2，得

n

=（2，-1，1），
由題意知平面BEC的法向量

m

=(0，0，1)，
設(shè)二面角F-BE-C的平面角為θ，
∵θ是鈍角，∴cosθ=-|cos＜

m

，

n

＞|=-

1

6

=-

6

6

，
∴二面角F-BE-C的平面角的余弦值為-

6

6

．…（12分）

點評：本題考查異面直線的證明，考查點到直線的距離公式的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．