Question

7．雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的左、右頂點(diǎn)分別為A₁，A₂，點(diǎn)P在C上且直線PA₂的斜率的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，1），那么直線PA₁斜率的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$）
• B． （$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{2}$）
• C． （$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{2}$）
• D． （$\frac{5}{4}$，$\frac{5}{2}$）

Answer 1

分析 由題意求A₁、A₂的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入求斜率，進(jìn)而求PA₁斜率的取值范圍．

解答 解：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，
左右頂點(diǎn)分別為A₁（-2，0）、A₂（2，0），
設(shè)點(diǎn)P（a，b）（a≠±2），則$\frac{{a}^{2}}{4}$-$\frac{^{2}}{5}$=1…①，
${k}_{P{A}_{1}}$=$\frac{a+2}$，${k}_{P{A}_{2}}$=$\frac{a-2}$；
則${k}_{P{A}_{1}}•{k}_{P{A}_{2}}$=$\frac{a+2}$•$\frac{a-2}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}-4}$，
由①式可得$\frac{^{2}}{5}$=$\frac{{a}^{2}-4}{4}$，
代入得${k}_{P{A}_{1}}•{k}_{P{A}_{2}}$=$\frac{5}{4}$，
∵${k}_{P{A}_{2}}$∈（$\frac{1}{2}$，1），
∴${k}_{P{A}_{1}}$∈（$\frac{5}{4}$，$\frac{5}{2}$）．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)應(yīng)用，同時(shí)考查了直線的斜率公式及學(xué)生的化簡(jiǎn)能力，屬于中檔題．