Question

（本小題滿分16分）在數列 中，已知 ，為常數.

（1）證明: 成等差數列;

（2）設 ，求數列 的前n項和 ；

（3）當時，數列 中是否存在三項 成等比數列，且也成等比數列?若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）詳見解析，

（2）當，當

（3）不存在

【解析】

試題分析：（1）判定三項成等差數列，基本方法為驗證：分別求出，，，滿足（2）將條件變形為，從而是以0為首項，公差為的等差數列，即，所以，，當，當（3）由（2）用累加法可求得，假設存在三項成等比數列，且也成等比數列，則，即，，化簡得，得．矛盾．

試題解析：（1）因為，

所以，

同理，，， 2分

又因為，， 3分

所以，

故，，成等差數列． 4分

（2）由，得， 5分

令，則，，

所以是以0為首項，公差為的等差數列，

所以， 6分

即，

所以，

所以． 8分

當， 9分

當． 10分

（3）由（2）知，

用累加法可求得，

當時也適合，所以 12分

假設存在三項成等比數列，且也成等比數列，

則，即， 14分

因為成等比數列，所以，

所以，

化簡得，聯(lián)立 ，得．

這與題設矛盾．

故不存在三項成等比數列，且也成等比數列． 16分

考點：疊加法數列通項